جبر الصف الثالث الإعدادي ( ترم ثاني )
الباب الأول :ـ النسبة والتناسب
النسبة :ـ هي عــــــبارة عن علاقة بين متغيران أو كميتين لهم نفس النوع من الوحدات في القياس مثلا أ ، ب وتكتب أ : ب أو ــــــــ وتقرا أ إلي ب أو أ علي ب و تســـمي الكمية الأولي ( أ ) بمقدم النســـــبة لأنة ينطق أولا وتسمي الكمية الثانية ( ب ) بتالي النسبة لأنة ينطق في الأخر و يسمي كلا من أ ، ب معاً ( حدي النسبة )
فمثلا إذا كانت نسبة عدد ساعات مذاكرة أحمد إلي عدد ساعات مذاكرة محمد كنسبة 2 : 3 فمعناه أنة كلما ذاكر أحمد ساعتين يذاكر محمد 3 ساعات و لذالك إذا ذاكر أحمد 10 ساعات فأن محمد يذاكر ...... ساعة وإذا ذاكر أحمد ..... ساعة فأن محمد يذاكر 9 ساعات
ملحوظة هامة
سميت النسبة بهذا الاسم لأنها في شكلها مثل الإعداد النسبية
خواص النسبة
1) إذا ضرب حدي النسبة في نفس العدد فان قيمة النسبة لا تتغير وكذالك إذا قسمت حديها علي نفس العدد لا تتغير أيضاً
فمثلا النسبة 2 : 3 تساوي النسبة 4 : 6 تساوي النسبة 20 : 30 ...... وهكذا
وكذالك إذا قسمت حديها علي أي عدد فان قيمتها لا تتغير أيضا
2) إذ أضيف أو طرح من حدي النسبة نفس العدد فان قيمة النسبة تتغير فمثلا النسبة 5 : 6 إذا أضيف إلي حديها العـــدد 2 فان النسبة تصبح 7 : 8 وهما غير متساويتان في القيمة
3) إذا ساوت نسبة رمـــزية مثلا ــــــــ نســـبة عــددية مثلا ــــــــــ فإن ــــــــ = ـــــــــ
وهــــــــذا ليس معناه أن أ = 2 ، ب= 3 ولكن معناه أن أ = 2م ، ب = 3م
حيث م ثابت يسمي ثابت التناسب و يسمي ــــــــ = ــــــــ بالتناسب حيث
إذا التناسب هو عبارة عن تساوي نسبتين أو أكثر وسوف يتم التعرض له في وقته
أمثلة
1) ما هو العدد الذي إذا أضيف إلي حدي النسبة 3 : 5 حتى تصبح النسبة 2 : 3
الحــــــــــــــــــــــــــل
نفرض أن العدد هو ( س) ـــــــــــــــ = ــــــــ
ومنها نجد أن 9 + 3 س = 10 + 2 س
ومنها نجد أن قيمة س = 1
2) ما هو العدد الذي إذا طرح من حدي النسبة 7 : 12 حتى يكون الناتج 1 : 2
الحـــــــــــــــــــــــــل
نفرض أن العدد هو ( س) ـــــــــــــــ = ــــــــ
ومنها نجد أن 14 ـــ 2 س = 12 ـــ س ومنها نجد أن س = 2
3) إذا كان 4 س 2 + ص2 = 4 س ص فأوجد النسبة س : ص
الحـــــــــــــــــــــــــــل
4 س 2 + ص2 = 4 س ص 4 س 2 ـــ 4 س ص + ص2 = صفر
بالتحليل نجد أن ( 2 س ــ ص ) ( 2 س ــ ص ) = صفر و منها نجد أن 2 س = ص
س : ص = 1 : 2
4) ما هو العدد الموجب الذي إذا أضيف مربعه ألي حدي النسبة 3 : 10 يكون الناتج هو 1 : 2
الحل
نفرض أن العدد هو س مربعه يكون س2
ومنها بجد أن ـــــــــــــــــ = ـــــــــ ( طرفين × وسطين )
6 + 2س2 = 10 + س2 س2 = 4 س = 2
تمرينات
1) ما هو العدد الذي إذا أضيف ألي حدي النسبة 5 : 8 حتى تصبح النسبة 2 : 3
2) عددين صحيحان موجبان النسبة بينـــــــــــهما 3 : 4 و مجموعــــهم 28 فما هما العددان
3) ما هو العـــدد الموجب الذي إذا طــــرح مربعه من حدي النسبة 41 : 91 تصبح 1 : 3
4) إذا كان ( 3 س + 5 ) : ( 2 س + 7 ) = 4 : 5 فأوجد قيمة س
5) ما العدد الذي إذا طرح من مقدم النسبة 13 : 15 و أضيف مربعه ألي تاليها تصبح النسبة 1 : 5
6) إذا كانت نسبة ما مع دعاء ألي ما مع فاطمة كنسبة 4 : 5 وكان مجموع ما معهم معاً 360 جنية فأوجد ما مع كلا منهما
7) إذا كان 3 س ـــ 5 ص : 5 س + 4 ص = 4 : 7 فأوجد س : ص
إذا كان 25 س 2 = 16 ص2 فأوجد س : ص
9) ما هو العدد الذي إذا أضيف مربعه إلي حدي النسبة 11 : 17 حتى تصبح النسبة الناتجة 6 : 7
10) ما هو العدد الذي إذا أضيف ضعفه إلي مقدم النسبة 6 : 5 وطرح من تاليها تصبح النسبة 6 : 1
11) إذا كان ( 4 س + 3 ص ) : ( 5 س ـــ 2 ص ) = 4 : 7 فأوجد قيمة النسبة س : ص
12) إذا كـــــان 6 س2 ــــ 13 س ص + 6 ص2 = صفر فأوجد النسبة بين س : ص
التناسب :ـ
هو عبارة عن تساوي نسبتين أو أكثر في المقدار
مثلا إذا كان ــــــــ = ـــــــــــ فأن هذا التعبير تقال عنة تناسب و يسمي أ المتناسب
الأول ويسمي ب المتناسب الثاني ويسمي جـ المتناسب الثالث ويسمي د المتناسب الرابع ويكون كلا منها يساوي مقدار ثابت يسمي ثابت التناسب وهو أي رمز مثل م مثلا أو أي رمز أخر
أي أن ــــــــ = ــــــــــ = م فأن أ = م × ب جـ = م × د
حيث م هو ثابت التناسب
ويمكن أيضا أن تكتب بالصورة أ : ب : جـ : د
مثال1 :ـ أوجد المتناسب الثالث إذا كان 2 : 3 : ...... : 12
الحل
ــــــــــ = ـــــــــــ ومنها نجد أن المتناسب الثالث = 8
مثال 2 :ـ أوجد المتناسب الرابع إذا كان 5 : 4 : 20 : .......
الحل
ــــــــ = ــــــــــ
ومنها نجد أن المتناسب الرابع = 16
مثال 3 :ـ
إذا كان ـــــــــ = ــــــــــ فأوجد قيمة ــــــــــــــــــــــــــــــ
الحل
نفرض أن ـــــــــ = ـــــــــ = م حيث م هو ثابت التناسب
ومنها نجد أن س = 2 م ص = 5 م
ــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــ = ـــــــــ
و توجد طرق أخري للحل
وذلك بالقسمة مباشرة علي ص فيكون لدينا النسبة ــــــــ ثم التعويض بقيمتها
( الباقي علي الطالب ) ( واجب )
ملحوظة هامة :ـ
ملحوظة 1
إذا وجد في المثال أكثر من تناسب فلأبد أن يكون لكل تناسب منهما ثابت خاص به
ملحوظة 2
إذا وجد تناسب رمزي يساوي تناسب عددي فأن المقدم الرمزي = ثابت × المقدم العددي وأيضاُ بالنسبة للتالي
مثلا
تمرينات
1) أوجد ألرابع المتناسب إذا 2: 5 : 8: ..........
2) أوجد الثالث المتناسب إذا أ : أ ر : ....... : أ ر3
3) أوجد الثاني المتناسب إذا ( أ+ ب) :.......: أ2 + أ ب + ب2 : ( أ3 ـــ ب3)
4
5) يمكن ضرب كل نسبه في عدد ( ثابت ) وجمع أو طرح الناتج ويكون المقدار النهائي مساوياً أحدي النسب أو كل النسب
مثلا عند ضرب الأولي في 3 وضرب الثانية في 2 و الجمع فالناتج يكون مساويا أحدي النسب أو كل النسب ـــــــــــــــــــ = ــــــــ = ــــــــ
التناسب المتسلسل :ـ
يقال لأي ثلاثة كميات أ ، ب ، جـ إنهم في تناسب متسلسل إذا كان ــــــــ = ـــــــــ
ويسمي ( أ ) المتناسب الأول
و يسمي ( ب) المتناسب الثاني ( الوسط المتناسب ) ، ويسمي ( جـ ) المتناسب الثالث
مثال :ـ
أوجد المتناسب الثالث إذا كان 2 ، 4 ، .......
الحل
أوجد الوســـط المتنـــــاسب الموجب للقيم 5 ، ...... ، 20
الحل
الوسط المتناسب = 5 × 20 = 100 = 10
أوجد الأول المتناسب إذا كان ...... ، 16 ، 4
الحل
نفرض أن المتناسب الأول هو س
ملحوظـــــــة هامــــــة :ـ
1) لابد أن يكون كلا من أ ، جـ لهم نفس الإشارة لان حاصل ضربهم لابد أن يكون عدد موجب لأننا نوجد الجذر ألتربيعي ولا يوجد جذر تربيعي لعدد سالب
2) الوسط المتناسب أو الوسط الهندسي يكون له إشارتين أحداهما موجبة و ألأخرى سالبه
3) إذا كان أ ، ب ، جـ ثلاث كميات في تناسب متسلسل فأن ــــــــ = ــــــــ
ومنها بجد أن ـــــــــ = ـــــــــ = م حيث م ثابت التناسب
ـــــــــ = م ومنها ب = جـ × م ، ـــــــ = م ومنها أ = ب× م
أ = جـ × م2
أي أن إذا كان ــــــــ = ـــــــــ فأن ب = جـ × م ، أ = جـ × م2
4) فأن جـ = د × م ، ب = د× م2 ، أ = ب × م3
وهكذا لأي عدد من الكميات المتناسب في تناسب متسلسل
تمرينات
3) الوسط المتناسب بين 5 ، 20 هو .......
4) إذا كانت أ ، ب ، جـ كميات متناسبة فأثبت أن ــــــــــــــــ = ـــــــ
6) إذا كـــــــــــــــان ب وسـط متناسب بين أ ، جـ ، جـ وسط متناسب بين ب ، د فأثبت أن ب + جـ وسطاً متناسباً بين أ + ب ، جـ + د
ـ
تمرينات عامة علي النسبة والتناسب
1) أكمل ما يأتي :ـ
• التناسب هو عبارة ..........
• الثالث المتناسب للكميات 3 ، 9 ، ..... ، 8
• الرابع المتناسب للكميات 5 ، 10 ، 15 ، .....
• إذا كان ـــــــــــــــ = ـــــــ فأن أ2 = ........
• إذا كان 5 أ = 4 ب فأن 2 أ + 3 ب = ........
• إذا كان ـــــــــــــــ = صفر فأن أ = ........
• إذا كان ( أ + ب) : ( أ + 2 ب ) = 2 : 5 فأن أ : ب = ......
• إذا كان س:ص:ع = 2: 3: 5 فأن( س ــ ص+ ع )
س + ع) = ...........
• إذا كان ( 3 س ــ 5 ص):2 أ = (9 س2ـــ25ص2 ) : ( 3 س + 5 ص ) فأن أ = ......
• الوسط المتناسب للقيم 2 ، 8 هو .............
• الثالث المتناسب للقيم 9 ، 36 هو ........
• الأول المتناسب للقيم 2، 4 هو .............
• إذا كان س ، ص ، ع في تناسب متسلسل فأن ص = .......
• إذا كان 2 ، 4 + س ، 8 كميات متناسبة فأن قيمة س = .......
2) ما هو العدد الذي إذا أضيف ألي حدي النسبة 35 : 53 يكون الناتج 7 : 1
3) إذا كان ( 3 س + 2 ) : ( 5 س ـــ 6 ) = 5 : 6 فأوجد قيمة س
4) عددان حقيقيان موجبان النسبة بينهما 4 : 7 و إذا طرح من كلا منهما 16 كانت النسبة بينهما 2 : 5 أوجد العددان
5) أوجد العد الذي إذا طرح من حدي النسبة 7 : 12 يصبح الناتج 1 : 2
6) أوجد العدد الذي إذا طرح من كلا من الأعداد 16 ، 21 ، 14 ، 18 حتى تكون النواتج متناسبة
7) إذا كان أ ، ب ، جـ ، د أربع كميات متناسبة فأثبت أن
إذا كان أ ، ب ، جـ ، د ، هـ ، و كميات متناسبة فأثبت أن
9) إذا كان س : ص : ع = 3 : 5 : 7
فأثبت أن ( س + ص ) : 8 = ( س + ص + ع ) : 15
فأثبت أن س : ص : ع = 8 : 12 : 15
14) إذا كانت ص وســــــــــطاً متـــــــــناسب بين س ، ع فأثبت أن
( س ص ـــ ص ع ) وسط متناسب بين ( س2 ـــ ص2 ) ، ( ص2 ـــ 16) أكمل :ـ
• 4 س2 ـــ 9 ص2 : .............. = 2 س ـــ 3 ص : 2 س + 3 ص
• إذا كان أ : ب = 5 : 2 فإن ( 2 أ + ب ) : ب = .... : ......
• الوسط المتناسب بين 4 ، 25 هو ..............
• إذا كان أ : ب = 3 : 5 فإن ( أ + ب ) : ( أ ـــ ب ) = .......
20) إذا كان 2 أ ، ب ، جـ ، 4 د في تناسب متسلسل فأثبت أن :ـ
( 2 أ ـــ جـ ) ( ب ـــ 4 د ) ــــ 2 ( أ ـــ 2 د ) ( ب ـــ جـ ) = ( ب ـــ جـ )2
اختبار علي الوحدة الأولي
السؤال الأول
أوجد المتناسب الرابع 2 : 5 : 8 : 000000
أوجد المتناسب الثالث 3 : 4 : 0000 : 16
أوجد المتناسب الثاني 6 : 0000 : 3 : 20
أوجد الوسط المتناسب 3: 27
